祖冲之的成就主要有哪些？

数学史上的创举——“祖率”

　　祖冲之算出圆周率（π）的真值在3.1415926和3.1415927之间，相当于精确到小数第7位，简化成3.1415926，祖冲之因此入选世界纪录协会世界第一位将圆周率值计算到小数第7位的科学家。祖冲之还给出圆周率(π)的两个分数形式：22/7（约率）和355/113（密率），其中密率精确到小数第7位。祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“约率”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”。

　　圆周率的应用很广泛，尤其是在天文、历法方面，凡牵涉到圆的一切问题，都要使用圆周率来推算。如何正确地推求圆周率的数值，是世界数学史上的一个重要课题。中国古代数学家们对这个问题十分重视，研究也很早。在《周髀算经》和《九章算术》中就提出径一周三的古率，定圆周率为三，即圆周长是直径长的三倍。此后，经过历代数学家的相继探索，推算出的圆周率数值日益精确。

　　东汉张衡推算出的圆周率值为3.162。三国时王蕃推算出的圆周率数值为3.155。魏晋的着名数学家刘徽在为《九章算术》作注时创立了新的推算圆周率的方法——割圆术，将圆周率的值为边长除以2，其近似值为3.14；并且说明这个数值比圆周率实际数值要小一些。刘徽以后，探求圆周率有成就的学者，先后有南朝时代的何承天，皮延宗等人。何承天求得的圆周率数值为3.1428，皮延宗求出圆周率值为22/7≈3.14。

　　祖冲之认为自秦汉以至魏晋的数百年中研究圆周率成绩最大的学者是刘徽，但并未达到精确的程度，于是他进一步精益钻研，去探求更精确的数值。

　　根据《隋书·律历志》关于圆周率（π）的记载：“宋末，南徐州从事史祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。”祖冲之把一丈化为一亿忽，以此为直径求圆周率。他计算的结果共得到两个数：一个是盈数（即过剩的近似值），为3.1415927；一个是朒数（即不足的近似值），为3.1415926。

　　盈朒两数可以列成不等式，如:3.1415926（*）<π（真实的圆周率）<3.1415927（盈），这表明圆周率应在盈朒两数之间。按照当时计算都用分数的习惯，祖冲之还采用了两个分数值的圆周率。一个是355/113（约等于3.1415927），这一个数比较精密，所以祖冲之称它为“密率”。另一个是22/7（约等于3.14），这一个数比较粗疏，所以祖冲之称它为“约率”。

　　祖冲之在圆周率方面的研究，有着积极的现实意义，他的研究适应了当时生产实践的需要。他亲自研究度量衡，并用最新的圆周率成果修正古代的量器容积的计算。古代有一种量器叫做“釜”，一般的是一尺深，外形呈圆柱状，祖冲之利用他的圆周率研究，求出了精确的数值。他还重新计算了汉朝刘歆所造的“律嘉量”，利用“祖率”校正了数值。以后，人们制造量器时就采用了祖冲之的“祖率”数值。

　　数学杰作《缀术》

　　祖冲之写过《缀术》五卷，被收入着名的《算经十书》中。《隋书》评论“学官莫能究其深奥，故废而不理”，认为《缀术》理论十分深奥，计算相当精密，学问很高的学者也不易理解它的内容，在当时是数学理论书籍中最难的一本。

　　在《缀术》中，祖冲之提出了“开差幂”和“开差立”的问题。“差幂”一词在刘徽为《九章算术》所作的注中就有了，指的是面积之差。“开差幂”即是已知长方形的面积和长宽的差，用开平方的方法求它的长和宽，它的具体解法已经是用二次代数方程求解正根的问题。而“开差立”就是已知长方体的体积和长、宽、高的差，用开立方的办法来求它的边长；同时也包括已知圆柱体、球体的体积来求它们的直径的问题。所用到的计算方法已是用三次方程求解正根的问题了，三次方程的解法以前没有过，祖冲之的解法是一项创举。

　　《缀术》还曾流传至朝鲜和日本，在朝鲜、日本古代教育制度、书目等资料中，都曾提到《缀术》。

　　《宋史·楚衍传》中说“于《九章》《缉古》《缀术》《海岛》诸算经尤得其妙。天圣(1023-1031)初造新历”。

　　历法成就

　　改革闰法

　　在古代，中国历法家一向把十九年定为计算闰年的单位，称为“一章”，在每一章里有七个闰年。也就是说，在十九个年头中，要有七个年头是十三个月，这种闰法一直采用了一千多年。412年，北凉赵厞创作《元始历》，才打破了岁章的限制，规定在六百年中间插入二百二十一个闰月。

　　祖冲之吸取了赵厞的理论，加上他自己的观察，认为十九年七闰的闰数过多，每二百年就要差一天，而赵厞六百年二百二十一闰也不十分准确。因此，祖冲之提出了391年144闰月的新闰法。

　　祖冲之的闰周精密程度极高，按照他的推算，一个回归年的长度为365.2428141日，与今天的推算值仅相差46秒。一直到南宋的《统天历》，才采用了比这更精确的数据。

　　应用“岁差”

　　根据物理学原理，刚体在旋转运动时，假如丝毫不受外力的影响，旋转的方向和速度应该是一致的；如果受了外力影响，它的旋转速度就要发生周期性的变化。地球就是一个表面凹凸不平、形状不规则的刚体，在运行时常受其他星球吸引力的影响，因而旋转的速度总要发生一些周期性的变化，不可能是绝对均匀一致的。因此，每年太阳运行一周（实际上是地球绕太阳运行一周），不可能完全回到上一年的冬至点上，总要相差一个微小距离。按现代天文学家的精确计算，大约每年相差50.2秒，每七十一年八个月向后移一度。这种现象叫作岁差。

　　随着天文学的逐渐发展，中国古代科学家们渐渐发现了岁差的现象。西汉的邓平、东汉的刘歆、贾逵等人都曾观测出冬至点后移的现象，不过他们都还没有明确地指出岁差的存在。到东晋初年，天文学家虞喜才开始肯定岁差现象的存在，并且首先主张在历法中引入岁差。他给岁差提出了第一个数据，算出冬至日每五十年退后一度。后来到南朝宋的初年，何承天认为岁差每一百年差一度，但是他在他所制定的《元嘉历》中并没有应用岁差。祖冲之继承了前人的科学研究成果，不但证实了岁差现象的存在，算出岁差是每四十五年十一个月后退一度，而且在他制作的《大明历》中应用了岁差。

　　首次提出“交点月”的计算

　　祖冲之在我国天文学史上第一次提出，月亮相继两次通过黄道、白道的同一交点的时间（即“交点月”）长度为27．2123日，与现今推算值仅相差十万分之一日，即不到1秒，由于日食、月食（统称交食），都发生在黄白交点附近，所以祖冲之的交点月长度对于日月食预报具有十分重要的意义。

　　推算出交点月的日数以后，就更能准确地推算出日蚀或月蚀发生的时间。祖冲之在他制订的《大明历》中，应用交点月推算出来的日、月蚀时间比过去准确，和实际出现日、月蚀的时间都很接近。

　　编撰《大明历》

　　经过实际观测，祖冲之发现何承天所编的当时正在执行的《元嘉历》有许多错误，如日月方位距实测值已相差3度，冬至、夏至已差了1天，五星的出没已差40余天，于是他着手编撰《大明历》。

　　祖冲之在《大明历》的编纂中，区分了回归年和恒星年，最早将岁差引进历法，提出了用圭表测量正午太阳影长以定冬至时刻的方法，并采用了391年加144个闰月的新闰周，推算出一个回归年为365.24281481日。一直到南宋的《统天历》，才采用了比这更精确的数据。

　　天文成就

　　祖冲之对木、水、火、金、土等五大行星在天空运行的轨道和运行一周所需的时间，也进行了观测和推算，给出了更精确的五星会合周期。中国古代科学家算出木星（古代称为岁星）每十二年运转一周。西汉刘歆作《三统历》时，发现木星运转一周不足十二年。

　　祖冲之进行了重新测量，得出木星每84年超辰一次的结论，即定木星公转周期为11.858年（今测为11.862年）。并得出更精确多五星会合周期，木星398.903日（误差0.019日），火星780.031日（误差0.094日），土星378.070日（误差0.022日），金星583.931日（误差0.009日），水星115.880日（误差0.002日）。

　　机械制造

　　祖冲之设计制造过水碓磨、铜制机件传动的指南车、千里船、定时器等。在中国古代指南车的名称由来已久，但其机制构造则未见流传。三国时代的马钧曾造指南车，至晋再次亡失。东晋末年刘裕攻长安，得后秦统治者许多器物，其中也有指南车，但“机数不精，虽曰指南，多不审正，回曲步骤，犹须人功正之”。南朝宋昇明年间(477-479年)萧道成辅政，“使冲之追修古法。冲之改造铜机，圆转不穷而司方如一，马钧以来未有也。”祖冲之所制指南车的内部机件全是铜的，它的构造精巧，运转灵活，无论怎样转弯，木人的手常常指向南方。

　　祖冲之改良了水碓磨。在西晋初年，杜预改进发明了“连机碓”和“水转连磨”。一个连机碓能带动好几个石杵一起一落地舂米；一个水转连磨能带动八个磨同时磨粉。祖冲之又在这个基础上进一步加以改进，把水碓和水磨结合起来，生产效率就更加提高了。这种加工工具，中国南方有些农村还在使用着。

　　祖冲之还设计制造过一种千里船，史载“又造千里船，于新亭江试之，日行百余里”。它可能是利用轮子激水前进的原理造成的，一天能行一百多里。

　　祖冲之曾制造过“欹器”。这种器具用来盛水“中则正，满则覆”，古人常放置在身边以自警，“晋时杜预有巧思，造欹器三改不成”。南齐永明年间竟陵文宣王萧子良“好古，冲之造欹器献之”。

　　其他成就

　　祖冲之的成就不仅限于自然科学方面，他还精通乐理．对于音律很有研究。祖冲之又着有《易义》《老子义》《庄子义》《释论语》等关于哲学的书籍，都已经失传了。文学作品方面他着有《述异记》，在《太平御览》等书中可以看到这部着作的片断。